סדרת ההפכיים וסכום ההפכיים – בגרות חורף 2022 נבצריםסדרות 571 · שיעור 41

חורף 2022 נבצרים, שאלה 2 · סעיפים א , ב

שיעור 41: סדרת ההפכיים וסכום ההפכיים – בגרות חורף 2022 נבצרים

פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף א – סדרת ההפכיים

3סעיף ב (1) – הוכחה

4סעיף ב (2) – מציאת n

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a₁ , a₂ , a₃ , … ומנתה היא q. כל איברי הסדרה A שונים מאפס.

א. האם הסדרה 1a₁ , 1a₂ , 1a₃ , … היא סדרה הנדסית? הוכיחו.

ב. (1) מסמנים ב־S_n את סכום n האיברים הראשונים של הסדרה A. הוכיחו כי לכל n מתקיים: S_na₁ · a_n = 1a₁ + 1a₂ + 1a₃ + … + 1a_n

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) נתון: q = 3 , a₁ = 1. סכום n האיברים הראשונים בסדרה A גדול פי 6561 מן הסכום 1a₁ + 1a₂ + … + 1a_n. מצאו את n.

סעיף א – סדרת ההפכיים

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים בסדרת ההפכיים:

1a_{n + 1}1a_n = a_na_{n + 1}

a_{n + 1} = a_n · q

📐 נוסחה: סדרה הנדסית

a_na_n · q = 1q

המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן זו סדרה הנדסית שמנתה 1q ואיברה הראשון 1a₁.

✅ פתרון סופי: כן – סדרה הנדסית שמנתה 1q

📐 נוסחה: סדרה הנדסית

a_{n + 1} = a_n · q

סעיף ב (1) – הוכחה

אם q = 1: כל האיברים שווים ל־a₁, ושני האגפים שווים ל־na₁.

אם q ≠ 1: אגף שמאל:

S_na₁ · a_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1a₁ · a₁q^{n − 1}

📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית

= qⁿ − 1a₁ q^{n − 1}(q − 1)

📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית

אגף ימין – סכום של סדרה הנדסית עם איבר ראשון 1a₁ ומנה 1q (מסעיף א):

1a₁ + … + 1a_n = 1a₁ · (1qⁿ − 1)1q − 1

📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

סעיף ב (1) – הוכחה · המשך

1a₁ + … + 1a_n = 1a₁ · (1qⁿ − 1)1q − 1

📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית

= 1a₁ · 1 − qⁿqⁿ1 − qq

= 1 − qⁿa₁ qⁿ · q1 − q

= 1 − qⁿa₁ q^{n − 1}(1 − q) = qⁿ − 1a₁ q^{n − 1}(q − 1)

שני האגפים שווים.

✅ פתרון סופי: הוכחה

📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

סעיף ב (2) – מציאת n

S_n = 6561 · (1a₁ + … + 1a_n)

לפי סעיף ב (1):

1a₁ + … + 1a_n = S_na₁ · a_n

S_n = 6561 · S_na₁ · a_n

a₁ · a_n = 6561

a_n = 1 · 3^{n − 1} = 3^{n − 1}

📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ב (2) – מציאת n · המשך

a_n = 1 · 3^{n − 1} = 3^{n − 1}

📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית

1 · 3^{n − 1} = 6561 = 3⁸

n − 1 = 8

n = 9

✅ פתרון סופי: n = 9

📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

📌 סיכום התשובות

סעיף א

כן – מנה 1q

סעיף ב (1)

הוכחה

סעיף ב (2)

n = 9

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא